Estadística y probabilidad 1

Índice de EstadísticaTeoria

1. Conceptos de Estadística

2. Variable estadística

3. Tablas de estadística

4. Diagrama de barras y polígonos de frecuencias

5. Diagrama de sectores

6. Histograma

7. Parámetros estadísticos

8. Moda

9. Mediana

10. Media aritmética

11. Cuartiles

12. Deciles

13. Percentiles

14. Desviación media

15. Varianza

16. Desviación típica
17. Coeficiente de variación y puntuaciones típicas

Definición de Estadística

La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:Recogida de datos.Organización y representación de datos.Análisis de datos.Obtención de conclusiones.

Conceptos de Estadística

Población

Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico.

Individuo

Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población.

Muestra

Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población.

Muestreo

El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporción reducida y representativa de la población.

Valor

Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz.

Dato

Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.

Variable estadística

Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de una población.

Tipos de variable estadísticas

Variable cualitativa

Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos:

Variable cualitativa nominal

Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden.

Ejemplo:

El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.

Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa

Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no númericas, en las que existe un orden.

Ejemplos:

La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.

Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º, ...

Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

Variable cuantitativa

Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:

Variable discreta

Una variable discreta es aquella que solo puede tomar un número finito de valores entre dos valores cualesquiera de una característica.

Ejemplo:

El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

Variable continua

Una variable continua es aquella que puede tomar un número infinito de valores entre dos valores cualesquiera de una característica.

Ejemplos: 

La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.

En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales.

Tablas de frecuencia

Distribución de frecuencias

La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.

Tipos de frecuencias

Frecuencia absoluta

La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico.

Se representa por fi.

La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.

igualdad

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.

igualdad

Frecuencia relativa

La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos.

Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.

frecuencia relativa

La suma de las frecuencias relativas es igual a N1.

Frecuencia acumulada

La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.

Se representa por Fi.

Frecuencia relativa acumulada

La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.

Ejemplo: 

Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:

32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.

xi	Recuento	fi	Fi	ni	Ni
27	I	1	1	0.032	0.032
28	II	2	3	0.065	0.097
29		6	9	0.194	0.290
30		7	16	0.226	0.516
31		8	24	0.258	0.774
32	III	3	27	0.097	0.871
33	III	3	30	0.097	0.968
34	I	1	31	0.032	1
		31		1

 

Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.

Distribución de frecuencias agrupadas

La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua.

Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.

Límites de la clase

Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.

Amplitud de la clase

La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase.

Marca de clase

La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.

Construcción de una tabla de datos agrupados

3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

1º Se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso son 3 y 48.

2º Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el número de intervalos queramos establecer.

Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 6 y 15.

En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el número hasta 50 : 5 = 10 intervalos.

Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el límite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.

	ci	fi	Fi	ni	Ni
[0, 5)	2.5	1	1	0.025	0.025
[5, 10)	7.5	1	2	0.025	0.050
[10, 15)	12.5	3	5	0.075	0.125
[15, 20)	17.5	3	8	0.075	0.200
[20, 25)	22.5	3	11	0.075	0.275
[25, 30)	27.5	6	17	0.150	0.425
[30, 35)	32.5	7	24	0.175	0.600
[35, 40)	37.5	10	34	0.250	0.850
[40, 45)	42.5	4	38	0.100	0.950
[45, 50)	47.5	2	40	0.050	1
		40		1

  40 1  

Diagrama de barras y polígonos de frecuencias

Diagrama de barras

Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto.

Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o acumuladas.

Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.

Ejemplo: 

Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente resultado:

Grupo sanguíneo fi

A                       6

B                       4

AB                       1

0                      9

                      20

Diagrama de barras

Polígonos de frecuencia

Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos.

También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos.

Ejemplo: 

Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones:

Hora Temperatura

6              7º

9             12°

12             14°

15             11°

18             12°

21             10°

24              8°

dibujo

Diagrama de sectores

Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas.

Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.

El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos.

Ejemplos

En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 9 juegan al fútbol y el resto no practica ningún deporte.

           Alumnos Ángulo

Baloncesto 12         144°

Natación    3         36°

Fútbol         9        108°

Sin deporte 6       72°

Total        30        360°

Histograma

Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras.

Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se han agrupado en clases.

En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo.

La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.

Polígono de frecuencia

Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectángulo.

Ejemplo:

El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente 

	ci	fi	Fi
[50, 60)	55	8	8
[60, 70)	65	10	18
[70, 80)	75	16	34
[80, 90)	85	14	48
[90, 100)	95	10	58
[100, 110)	105	5	63
[110, 120)	115	2	65
		65

 

Parámetros estadísticos

Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a partir de los datos de una distribución estadística.

Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar la información dada por una tabla o por una gráfica.

Tipos de parámetros estadísticos

Hay tres tipos parámetros estadísticos:

De centralización.

De posición

De dispersión.

Medidas de centralización

Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.

La medidas de centralización son:

Media aritmética

La media es el valor promedio de la distribución.

Mediana

La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.

Moda

La moda es el valor que más se repite en una distribución.

Medidas de posición

Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.

Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.

La medidas de posición son:

Cuartiles

Los cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales.

Deciles

Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales.

Percentiles

Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales.

Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la distribución.

Las medidas de dispersión son:

Rango o recorrido

El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.

Desviación media

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

Varianza

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media.

Desviación típica

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Cómo Hacer Divisiones

La Matemática es una de las ciencias que más dolores de cabeza trae porque en esta ciencia prima la exactitud, no hay grises, o es blanco o es negro, por decirlo de una forma simple. Resolver cálculos matemáticos, por más simples que sean como lo son las operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división) exige exactitud. Por suerte existen las calculadoras que muchas veces dan soluciones rápidas pero no siempre tenemos una a mano o no conseguimos exactamente lo que estamos buscando.Para resolver problemas muchas veces necesitamos saber cómo hacer divisiones. Por ejemplo un problema puede requerir de una división que podría resolverse con una calculadora. Supongamos que tengo 1400 € para repartir entre 7 personas, es sabido que debemos dividir 1400 / 7 y obtener el resultado que será exactamente 200 € a cada uno porque la división es exacta, o dicho en otras palabras el resto de la división es cero.

Pero qué ocurriría si en vez de 1400 € tengo 1950 € y debo repartirlo entre las mismas 7 personas, lógicamente que les tocará más a cada uno pero también puede ser que me sobre dinero. Si hago la división con la calculadora: 1950 / 7 obtendré 278, 57143 €, es decir que la división en este caso no es exacta. Si sabemos cómo hacer una división “a mano” podremos saber cuánto le queda a cada uno (278 €) y cuál es el resto de la división, o sea lo que me sobra para mí (en este caso 4 €).

Probemos si es cierto: 278 € x 7 + 4 € = 1946 € + 4 € =1950 € que es lo que teníamos para repartir.

En Doncomos.com te enseñaremos cómo hacer divisiones con el algoritmo correspondiente y te daremos algunos trucos para que puedas trabajar con la calculadora.

Necesitas

•  Números para dividir
•  Papel y lápiz
•  Calculadora

Instrucciones

1. Dividir dos números es encontrar cuántas veces cabe el divisor en el dividendo, a ese resultado se lo llama cociente y a lo que queda de la división, si estamos hablando de división exacta es el resto. Dividir es la operación contraria a multiplicar por lo que esto nos da una gran ventaja: podemos verificar si el resultado obtenido es correcto.
2. En matemática hay muchos tipos de divisiones numéricas según el campo numérico en el que trabajemos, por ejemplo en los números naturales, que son los que aprendemos desde chiquititos solo existe la división exacta, en cambio podemos trabajar dentro de los llamados números reales con fracciones, decimales e irracionales. Cada cual con su algoritmo propio y sus dificultades.
3. Veremos como hacer una división con números naturales primero por una cifra, luego con dos porque el procedimiento es el mismo para cualquiera número siempre que no estemos trabajando con números decimales.
4. Supongamos que queremos dividir 2354 : 3 =
5. Planteamos la división y comenzamos preguntándonos ¿puedo dividir la primer cifra del dividendo por el divisor, es decir 2 se puede dividir por 3? La respuesta es no porque el 3 no cabe ni una vez en el dos, es mayor. Entonces tomaremos dos cifras del dividendo, o sea 23. Ahora sí el 23 puede dividirse por 3. Nos preguntamos: Cuántas veces cabe el 3 en el 23? La respuesta es 7 porque 3 x 7 = 21, si hubiera respondido 8 lo superaría porque 3 x 8 = 24.  Colocamos el 7 debajo de la línea de división y ya tenemos el primer número del cociente. Ahora debemos multiplicar 7 x 3 = 21 y colocamos el resultado debajo del 23 y restamos: 23 – 21 = 2 (lo escribimos).
6. Ahora debemos bajar la siguiente cifra, el 5, que con el dos que nos sobro antes formará 25. Repetimos la pregunta: Cuantas veces cabe el 3 en el 25? La respuesta es 8 porque 3 x 8 es 24 y si pusiera 9 me pasaría. Escribimos el 8 en el cociente detrás del 7 que ya teníamos. Volvemos a multiplicar 8 x 3 = 24 y lo escribimos debajo del 25 y restamos. 25 – 24 = 1. Lo escribimos y bajamos la última cifra que será un 4. Se nos forma el 14. Cuántas veces entra el 3 en el 14? La respuesta es 4, lo escribimos en el cociente y volvemos a multiplicar 4 x 3 = 12, escribimos 12 y restamos: 14 – 12 = 2. Este número es el resto de la división que siempre debe ser menor que el divisor. El cociente quedó 784 y el resto 2.
7. Si queremos comprobar que la división esté bien hecha podemos multiplicar el cociente por el divisor, luego le sumamos el resto y nos dará el dividendo.
8. Mira: 784 x 3 + 2 = 2352 +2 = 2354 Comprobado!
9. Si queremos dividir por dos cifras deberemos empezar tomando del dividendo dos cifras, si vemos que es menor que el divisor tomaremos 3 cifras. Por ejemplo: 14503 : 70 =
10. Como 14 es menor que 70 debemos tomar las tres primeras cifras, es decir 145, dividimos por 70 y esto dará por resultado 2, lo escribimos en el cociente, multiplicamos 2 x 70 = 140, lo escribimos y restamos: 145 -140 = 5, luego bajamos la siguiente cifra que es un 0, se nos forma el número 50 que deberemos dividir por 70 pero como es menor que el colocamos un 0 en el cociente. Finalmente bajamos la última cifra y nos quedará formado 503. Cuantas veces cabe 70 en 503? La respuesta es 7, lo colocamos en el cociente y seguimos como siempre. El cociente nos quedará 207 y el resto 13 (recuerda que siempre debe ser menor que el divisor).
11. Comprobamos: 207 x 70 + 13 = 14490 + 13 = 14503
12. Si quieres hacerlo con calculadora directamente y quieres hacer la división entera, es decir hallar el cociente y el resto, haz lo siguiente:
13. Divide 14503 : 70 = 207,1857143…… El cociente es 207, es decir la parte entera de esa división. Para obtener el resto haz lo siguiente: a ese número tal como está en el visor de la calculadora réstale la parte entera, es decir: 207,1857143….- 207 = 0,1857143….y a ese resultado lo multiplicas por el divisor, o sea por 70 y obtendrás el resto: 0,1857143….x 70 = 13
14. Haz la prueba con la primer división que hicimos.

Consejos

• Recuerda que cuando haces la comprobación te quedará una multiplicación y una suma, no olvides que primero se resuelve la multiplicación y luego la suma.
• Practica mucho dividiendo por una, dos, tres cifras ya que el procedimiento es el mismo

Cómo Calcular el Perímetro y el área

Es muy común confundir los dos conceptos: perímetro y área. El perímetro es la longitud el contorno de una figura, en cambio el área es la medida de lo que está contenido dentro de esa figura. Por ejemplo si imaginamos un cuadrado y lo dibujamos estaremos haciendo el contorno. Si medimos ese contorno obtendremos el perímetro que se mide en cm, dm, m, etc. (unidades de longitud). Una vez que lo dibujamos y luego pintamos con color lo que queda dentro del cuadrado estaremos hablando del área, que se calculará con una cierta fórmula y se medirá en cm², dm², m², etc. (unidades de área).

Lo que muchas veces confunde es que con los mismos elementos (medida de los lados de un rectángulo, por ejemplo) se puede calcular el perímetro y el área pero aplicando distintas fórmulas que implican diferentes operaciones matemáticas.

Las fórmulas sirven para calcular perímetros y áreas de triángulos, cuadriláteros y en general de polígonos regulares, así como círculos. Pero hay figuras que no son regulares y es necesario descomponerlas en partes para calcular el área, sumarlas o restarle una parte a otra, es decir que no solo debemos valernos de fórmulas sino de mucho razonamiento.

Necesitas

•  Fórmulas de perímetros y áreas
•  Lápiz y papel
•  Calculadora

Instrucciones

1. Calcular perímetros no necesariamente se requiere de fórmulas porque sea cual sea el polígono, regular o no, obtendremos su perímetro sumando las longitudes de los lados.
2. Por ejemplo, si un cuadrado tiene 5 cm de lado su perímetro será 5cm + 5cm +5cm +5cm = 20 cm, pero como el cuadrado tiene sus 4 lados iguales, de la misma medida al cual llamaremos L, podría escribirse una fórmula:
3. Perímetro del cuadrado = L x 4
4. Si queremos calcular el perímetro de un rectángulo cuyos lados son L₁ y L₂ podemos hacerlo sumando L₁ + L₂ + L₁ + L₂ pero como sabemos que los lados enfrentados tienen la misma medida podríamos escribir la fórmula:
5. Perímetro del rectángulo = L₁ x 2 + L₂ x 2
6. El triángulo puede ser equilátero (sus tres lados iguales) entonces su perímetro podemos abreviarlo como:
7. Perímetro del triángulo equilátero = L x 3
8. Pero si no es equilátero directamente sumamos la medida de los lados:
9. Perímetro del triángulo = L ₁ + L₂ + L₃
10. El paralelogramo también tiene los lados opuestos de la misma longitud por lo que para calcular su perímetro haremos lo mismo que con el rectángulo
11. Perímetro del paralelogramo = L₁ x 2 + L₂ x 2
12. Para calcular el perímetro de los polígonos regulares como pentágono (5 lados iguales), hexágono (6 lados iguales), heptágono (7 lados iguales), etc. se multiplica la cantidad de lados por la medida del lado, supongamos que el lado es L
13. Perímetro del pentágono = 5 x L
14. Perímetro del hexágono = 6 x L
15. Perímetro del heptágono = 7 x L
16. Perímetro del octógono = 8 x L
17. Si la figura es irregular podemos calcular su perímetro sumando todos los lados
18. Si queremos calcular el perímetro de la circunferencia debemos conocer la medida del radio de ella, el radio R es la longitud desde el centro de la circunferencia hasta un punto cualquiera de ella o del diámetro D (que es el doble del radio) También debemos recordar el número π (Pi) cuya aproximación es: π = 3,14
19. Perímetro de la circunferencia = π x D
20. Por ejemplo si una circunferencia tiene un radio de 15 cm y queremos calcular su perímetro lo haremos del siguiente modo:
21. Perímetro = πx D = π x 2 x R = 3,14 x 2x 15 cm = 3,14 x 30 cm = 94,2cm
22. Ahora veremos el cálculo de las áreas, es decir lasfórmulas:
23. Área del cuadrado= L x L = L²
24. Área del rectángulo = L₁ x L₂ también se dice base x altura
25. Para calcular el área del triángulo o del paralelogramo necesitamos conocer la altura (h) que no es lo mismo que el lado (a veces puede coincidir). La altura de un triángulo o de un paralelogramo es el segmento perpendicular a la base y que pasa por el vértice opuesto a ella tal como te lo muestra la figura. También necesitamos la medida de la base.
26. Para calcular el área del círculo sólo debemos multiplicar el número π x el radio elevado al cuadrado
27. Área del círculo= π x R²
28. Por ejemplo el área del círculo de radio = 15 cm será:
29. A = π x R² = 3,14 x (15 cm)² = 3,14 x 225 cm² = 706,5 cm²
30. Si queremos calcular el área de los polígonos regulares como el pentágono, hexágono, etc. debemos descomponer la figura en triángulos y conocer la altura de esos triángulos así como la medida de los lados que son todos iguales:
31. Área del pentágono: 5 x (L x h)/2
32. Área del hexágono: 6 x (L x h)/2
33. Área del heptágono: 7 x (L x h)/2
34. Área del octógono: 8 x (L x h)/2
35. Si un Hexágono tiene 4 cm de lado y la altura de los triángulos (también llamada apotema del hexágono) es 3,5cm su área se calculara del siguiente modo:
36. Área = 6 x (4 cm x 3,5 cm) / 2 = 6 x 14cm² /2 = 42 cm²
37. Hay cálculos de áreas que requieren de más trabajo, descomponer una figura en figuras simples y luego sumar las áreas aplicando las fórmulas conocidas. Puedes verlo en la figura entera que luego se descompone en un triángulo, en un rectángulo y en la mitad de un círculo.

Consejos

• Siempre debes tener claras las unidades y no confundir las de perímetro y las de área porque cuando resuelves un problema de geometría y debes decir que perímetro o área tiene una figura debes acompañar el número con la unidad.
• Practica observando a tu alrededor y siempre encontrarás figuras: una ventana, una piscina, un cuadro. Trata de imaginar que longitudes tienen sus lados y calcular mentalmente su perímetro y su área.