miércoles, 22 de noviembre de 2017

PROYECTOS DE MATEMATICA
        Profesor: Wilfrido Gómez
Como formar un gran matemático
Guía del proyecto
A lo largo de la historia muchos hombres y mujeres han hecho importantes contribuciones al estudio y avance de las matemáticas. Lamentablemente las contribuciones de muchos son olvidadas porque la sociedad tiende a ver esta disciplina en término de sus aplicaciones y no de su historia. Este proyecto permitirá a los alumnos aprender sobre algunos personajes y/o juegos lúdicos que son responsables del modo como hoy entendemos las matemáticas.
Objetivo:
De manera individual o grupal  los estudiantes van a investigar y hacer un análisis sobre algún matemático y/o Juegos lúdicos. Luego de escribir su informe, hará una presentación oral frente al grupo en la que describan los mayores logros de ese personaje. 
Tiempos sugeridos:
 Un periodo de clase durante cuatro semanas.
Competencias empleadas:
1.   Investigar información
2.   Evaluar esa información
3.   Organizar la información
4.   Usar las matemáticas para trasmitir las ideas
5.   Hacer uso de la tecnología en la solución de problemas
Materiales especiales y equipo:
Libros de referencia, tarjetas de notas. Opcional: computadora de acceso a Internet para investigar y escribir los informes; PowerPoint o pizarrón virtual para las presentaciones.
Para compartir: 
Los educandos hacen sus presentaciones frente al grupo de estudiantes y profesores.
Extensiones:
Entre todos, pueden crear una línea de tiempo o juegos (preferiblemente utilizando materiales desechables), en la que destaquen los logros importantes en el campo de las matemáticas.
Desarrollo
·         Informar a los alumnos que las matemáticas se han desarrollado a lo largo de miles de año para cubrir las necesidades de las personas la sociedad. Uno de los primeros usos de las matemáticas fue contar con los dedos durante los trueques, pero existen registros que señalan que en el año 3000 a.C. los egipcios y los babilonios habían desarrollado sistemas numéricos y las primeras formas de contabilidad. Muchas personas y grupos han contribuido al desarrollo de las matemáticas desde entonces.
·         Explicar a los alumnos que trabajarán solos, investigando al matemático o juego lúdico que elijan; harán un informe escrito y una presentación oral sobre ese personaje o juego.
·         Sugerir que investiguen los antecedentes de la persona y juegos lúdicos, su educación y sus contribuciones específicas al avance al avance de las matemáticas. De ser posible, deben incluir ecuaciones, cifras o ideas que muestren su trabajo.
·         Distribuir entre los alumnos copias de la guía. Y repase con ellos la información. Sugiera que consulten fuentes tanto impresas como en línea para su investigación. Es posible que matemáticos y juegos que están investigando tenga algún sitio web en el que se hable de sus logros.
·          Adviértales que hay más información sobre algunos matemáticos y juegos que sobre otros, por lo que deben ser perseverantes
·          Es posible amentar la lista y dejar a los alumnos elegir otros matemáticos y/o juegos lúdicos, pero  deberá aprobarse antes de que inicien la investigación.
·         Organizar una sesión con los alumnos en la biblioteca de la escuela; avise al encargado con anticipación que necesitarán libros sobre matemáticos. Sugiera que visiten la biblioteca pública y revisen fuentes en línea. Gran parte de la investigación y el trabajo se hará dentro y fuera de clase.
·         Una vez concluida la investigación y terminados los informes, los alumnos harán una presentación oral frente al grupos asignados en la que resaltarán los puntos más importantes del informe y, de ser posible, ofrecerán ejemplos del trabajo del matemático. Si es posible, sugiera que use un proyector y PowerPoint, o un pizarrón virtual.
Guía del estudiante           
 Formar un gran matemático
Vas a elegir a un matemático y/o un juego lúdico a investigar sobre su vida y sus contribuciones a las matemáticas. Cuando termines, escribirás un informe en el que resumas tu investigación, y harás una presentación frente al grupo.
ESTRATEGIAS POSIBLES
1. Elige un matemático y/o juegos lúdicos que haya trabajado sobre un tema que te interese.
2. Consulta libros de referencia, bibliografías y fuentes en línea para encontrar información.
RECOMENDACIONES ESPECIALES
• Concentra tu investigación en la vida del personaje y/o juego, sus antecedentes, su educación y sus contribuciones a las matemáticas. Pregúntate de qué manera beneficio su trabajo a otros matemáticos o a la sociedad en general.
• Toma notas y registra las fuentes de donde sacaste la información.
• Incluye ejemplos para mostrar las contribuciones del matemático; toma en cuenta citas, ilustraciones, cifras o ejemplos de problemas.
• En tu informe incluye una introducción, un cuerpo de texto con las idead principales y detalles de apoyo, y una conclusión.
• Da tu opinión: ¿ese personaje fue un gran matemático? ¿O se le valoró demasiado? ¿ qué importancia tienen estos juegos?¿ cómo contribuye para le enseñanzas de la matemática? Explica tu respuesta.
• Incluye la bibliografía de las fuentes impresas y en línea; consulta tu libro de español o un libro de estilo para que uses el formato correcto.
• Prepara un borrador de tu presentación. Proporciona información de los antecedentes del matemático, pero concentra la mayor parte de tu presentación en sus contribuciones a las matemáticas. De ser posible, expón ejemplos.
LO QUE HAY QUE PRESENTAR
·         El informe y las notas.
·         El perfil de la presentación.
NOTAS
Tomado del libro. Mis proyectos prácticos de matemáticas con aplicaciones en la vida real.
A continuación presento un ejemplo de un proyecto de matemática de juego realizado por mis estudiantes  de matemática de 5º años de bachillerato ( último año)  de la unidad educativa JOSE ATENODORO PULIDO  en el años 2015
          JUGAMOS CON EL GEOPLANO

El geoplano es un recurso didáctico muy interesante para trabajar la geometría, pues nos sirve para introducir los conceptos geométricos de forma manipulativa.
Con él no sólo podemos construir formas geométricas, sino que también podemos utilizarlo para trabajar la direccionalidad de las letras.

Es, en definitiva, un recurso imprescindible en un aula de infantil, tanto para el aprendizaje de las matemáticas, como de la lectoescritura y de la motricidad fina.






Cuando vi la imagen que comparto abajo con el enlace, pensé que sería una idea genial tener un geoplano de estas características por niño, de 9 chinchetas, no más.  Que sería un recurso interesante en el aula para realizar cualquier actividad o juego para todos los niños.
Así que, hablé con  4 compañeros de 5º año sección “A” y con nuestro profesor de matemática Wilfrido Gómez y empezamos nuestro proyecto con la pautas indicadas y la orientación del profesor y manifestándole nuestro interés por dicho proyecto. Una tarde que  no tenía clase, venimos los 4  y me ayudaron a clavar las chinchetas en los 20 geoplanos. ¡Qué buen trabajo hicimos y excelente  colaboración! Terminado todo esto se lo presentamos a nuestro profesor el cual nos dio el visto bueno lo cual nos lleno de mucha satisfacción
Esa misma semana estrenamos los geoplanos de forma libre para que se familiarizaran con ellos. Ya teníamos uno en el rincón de grafo, aunque más grande, y les resultaba familiar. Una vez ya lo conocían, realizamos talleres de lecto, cada niño con un geoplano y en cada grupo un abecedario de muestra.
Algunos juegos con el geoplano:

  • Disponemos de unas plantillas con el abecedario que saqué de internet, y en las que cada letra del abecedario está escrita en un geoplano, por lo que los niños deben de copiar dichas plantillas con las gomas necesarias.
  • Decimos una letra o número al azar y los niños deben dibujarla en su geoplano con las gomas. ( también pueden intervenir sus maestros o profesores)
  • Dibujan con las gomas la inicial de su nombre. Más tarde, el resto de letras de su nombre.
  • Forma libre. 
Tablero de madera de 15 x 15. Separación entre chinchetas 5 cm., dejando un marco en el tablero de 2'5 cm.


 dejamos muestra  una del abecedario con geoplano.



lunes, 17 de abril de 2017

organismos vivos y su medio ambiente

Tipos de Gráficas en Estadística

Graficar puntos en el plano cartesiano.Aprende matemáticas.

¿ CÓMO CAMBIA DE ESTADO LA MATERIA? - SOLIDO - LIQUIDO - GASEOSO

Conversión de unidades de masa del sistema Inglés

Conversión de medidas de longitud del sistema inglés

NIVELES DE ORGANIZACIÓN DE LOS SERES VIVOS

Niveles de organizacion de los seres vivos

Mitosis y Meiosis - ¿Qué es la mitosis? - Reproducción celular asexual

Números Primos y Compuestos

operaciones con números naturales ( Fm 01001 )

¿Qué son los números naturales?

jueves, 16 de marzo de 2017

¿Sabe cómo se nombran los elementos de la tabla periódica?



¿Sabe cómo se nombran los elementos de la tabla periódica?

Esta semana se 'bautizaron' cuatro nuevos, que completan la séptima fila.
La Unión Internacional de Química Pura y Aplicada (Iupac, por sus siglas en inglés), entidad que se encarga de los estándares para darles nombres a los compuestos químicos, aceptó el pasado diciembre el descubrimiento de los cuatro elementos que faltaban para completar la séptima fila de la tabla periódica.

Nihonio, moscovio, tenesino y oganesón representan un país, una región, una ciudad y un científico, y serán los nombres de los elementos 113, 115, 117 y 118 de esta tabla que todo estudiante de colegio tiene que estudiar y hasta aprenderse de memoria. Lo que sigue es una revisión pública, durante cinco meses, para lograr la aprobación final por parte del Iupac.
El número que ocupa cada elemento en la tabla periódica hace referencia a la cantidad de protones en el núcleo del átomo. Así, el hidrógeno solo tiene uno, el oxígeno tiene ocho, el oro tiene 79. Los nuevos elementos son denominados ‘superpesados’, por su núcleo ‘gigante’.El elemento 118, por ejemplo, es el más pesado de los conocidos hasta ahora.
Como es tradición en el campo de la química, el derecho para bautizar los elementos es de los descubridores. Sin embargo, para que el nombre sea aceptado debe seguir algunas reglas.

Los nuevos elementos pueden ser nombrados por un concepto, un personaje mitológico o astronómico, un mineral o sustancia similar, un lugar geográfico, una propiedad del elemento o un científico.

La terminación del nombre también debe mantener una consistencia histórica. Para elementos que pertenecen a los grupos 1 a 16, la terminación en inglés más recurrente es ‘-ium’, como titanium; para los del grupo 17 es ‘-ine’, como chlorine, y para el 18, ‘-on’, como neón. Además, la traducción a otros idiomas debe ser sencilla.

Para el elemento 113, que se conoce hasta ahora como ununtrium, los científicos del centro de investigación Riken (Japón) propusieron nihonium o nihonio y el símbolo atómico Nh. Este proviene de la palabra ‘Nihon’, una de las dos formas de decir Japón en japonés, y significa “la tierra del sol naciente”, como se le conoce a ese país.
Los investigadores agregan que el nombre intenta tener una relación con el país ya que este es el primer elemento descubierto por una nación asiática. El equipo, liderado por el investigador Kosuke Morita, dice que es un homenaje al trabajo del científico Masataka Ogawa, que en 1908 contribuyó al descubrimiento del Tecnecio. También esperan que la fe y el orgullo en la ciencia ayuden a combatir la confianza perdida por el accidente nuclear en la planta de Fukushima en el 2011.
Los elementos 115 “unumpentium” y 117 “ununseptium” serán nombrados por el equipo ruso-estadounidense que trabajó en su descubrimiento y que incluye el centro de investigaciones nucleares Dubná (Rusia), el laboratorio Oak Ridge, la Universidad Vanderbilt, y el laboratorio nacional Lawrence Livermore, estos tres últimos ubicados en Estados Unidos. Los elementos también seguirán la tradición de nombrarse por un lugar o región geográfica.

El nombre propuesto para el elemento 115 es moscovium o moscovio y su símbolo atómico Mc. Es un reconocimiento a la tierra ancestral rusa y a la zona de Moscú (Rusia), hogar del instituto de investigaciones nucleares Dubná, donde este fue descubierto.

Para el 117 se planteó tennessine o tenesino y su símbolo atómico Ts. Alude a la región de Tennessee, en Estados Unidos, donde está el laboratorio Oak Ridge, y las universidades de Vanderbilt y de Tennessee, líderes del descubrimiento.

Con el último elemento de la tabla, el 118, habría un cambio de ununoctium a oganesson u oganesón, acompañado con el símbolo Og. Su nombre es un tributo al físico nuclear ruso Yuri Oganessian que, entre sus múltiples estudios, contribuyó a las investigaciones de elementos superpesados que solo pueden ser creados en el laboratorio. El científico fue director del centro de investigaciones Dubná y actualmente tiene 83 años. El hallazgo fue una colaboración del Instituto Central de Investigaciones Nucleares en Dubná (Rusia) y el laboratorio Lawrence Livermore en Estados Unidos.

La organización agregó quealgunos laboratorios ya están trabajando para conseguir los elementos de la octava fila de la tabla periódica y consolidar la identificación del copernicio, nombrado así en el 2009 por investigadores alemanes en honor al científico Nicolás Copérnico.

Experimentoteca - Condução de água nas plantas (rosa arco-íris)

domingo, 5 de marzo de 2017

Tablas de verdad - Ejercicio 1

PROPOSICIONES, CONJUNCIONES, DISYUNCIONES, IMPLICACIONES.

PROPOSICIONES, CONJUNCIONES, DISYUNCIONES, IMPLICACIONES.

Publicado: junio 17, 2010 en Uncategorized
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TEMARIO:

  • Forma de simbolizar una proposición.
  • Proposición simple.
  • Valor de verdad de una proposición.
  • Ejemplos.
  • Proposiciones compuestas y conectivos lógicos.
  • Negación de una proposición.
  • Conjunción.
  • Valor de verdad de la conjunción.
  • Disyunción.
  • Valor de verdad de una disyunción.
  • Disyunción exclusiva.
  • Implicación o condicional.
  • Valor de verdad de la implicación.
  • Equivalencia o bicondicional.
  • Valor de verdad de la equivalencia
  • Tablas de verdad.
  • Tautologías.
  • Contradicción.
  • Funciones proposicionales.
  • Proposiciones con cuantificadores.
  • Negación de proposiciones con cuantificaciones.
  1. PROPOSICIONES:

Son enunciados que en un contexto determinado o en una teoría se pueden calificar como verdaderas o falsas.
Para designar una proposición se utilizarían las letras minúsculas.

p, q , r, s

Ejemplo:

a. p: El pentágono tiene 6 lados.
b. q: Colombia tiene dos mares.
c. r:¿Cuál es tu nombre?.
d. s: ¡Él lo hizo!
e: t: 3/4 de 12 es 9.
f. o: Estoy de acuerdo!Observación: Las opiniones, preguntas, órdenes y exclamaciones no son consideradas proposiciones.

Proposición SIMPLE:

Es aquella que se forma sin utilizar términos de enlace.
Ejemplo:      p: Hoy es jueves
q: 7 elevado a la 3=343

Valor de verdad de una proposición, (V) O (F).

Se pueden calificar como verdaderas o falsas.
Ejemplo: -4 es mayor que -3 (F)
2*π*r es la longitud de la circunferencia (V)
Hoy llueve en Medellín.
Para todas las personas que habitan en Medellín no tiene el mismo valor de verdad.

Ejercicio: Determine el valor de verdad de cada proposición simple.
  1. p: Los elefantes vuelan.
  2. q: Lina tiene 7 annos.
  3. r: Raíz cuadrada de -9 es un número real.
  4. 7 es factor de 84.
PROPOSICIONES COMPUESTAS Y CONECTIVOS LÓGICOS


Las proposiciones compuestas son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples ligadas por un conector
  • Es un rectángulo si y sólo si tienen 4 ángulos rectos.
  • Viajamos de día o viajamos de noche.
  • Si el perímetro aumenta, entonces el área se duplica.
  • 8 es un número par y 8 es divisible por 2.
Los conectores y, o. entonces, si y sólo si, permiten unir dos preposiciones simples.












AXIOMAS:
Son proposiciones que son verdaderas por definición.
Ejemplo: El todo es mayor que las partes
Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre si.
El método deductivo permite partir de un conjunto de hipótesis y llegar a una conclusión.
En matemáticas, la deducción es un proceso concatenado de la forma:


Si A entonces B, si B entonces C, si C entonces D… hasta llegar a una conclusión.


TEOREMA: Es el conjunto de hipótesis mas la demostración, hasta llegar a una conclusión.


Ejercicios: Formar proposiciones compuestas, a partir de proposiciones simples.

  • Este mes me voy a trabajar.
  • Este mes me muero de hambre.
  • Vivo en Lima.
  • Vivo en Madrid.
  • Estudio matemáticas.
  • Puedo ensenar matemáticas.
POSIBILIDADES LÓGICAS.

Una proposición simple p sólo tiene dos posibilidades, o es verdadera o es falsa.

Dos proposiciones Simples forman una compuesta




Tres proposiciones tendrán 2 elevado a la 3 =8 

En general el número de proposiciones simples que se tienen es “n”, entonces el número de posibilidades es 2 elevado a la n.


NEGACIÓN DE UNA PROPOSICIÓN


La negación es el conectivo lógico que permite cambiar el valor de verdad de una proposición.
Si p es verdadero (V)
Su negación ¬p es falsa (F)
¬p se lee no p.


Ejemplo: Negar las siguientes proposiciones simples:
p: Todos los números primos son pares.
q: No todos los triángulos son isóceles.
r: -15+18=7


Solución:
¬p: No todos los números primos son pares.
¬q: Todos los triángulos son isóceles.
¬r:-15+18+ 7

¿Cuál es el resultado de ¬(¬p)?
Observación: Si una proposición p es verdadera, su negación es falsa y viceversa.


LA CONJUNCIÓN (p ^ q) símbolo lógico ^.


La proposición p ^q es verdadera únicamente si p y q son verdaderas, los demás casos p y q es falsa.


Ejemlo: Juanita, podrás salir a la calle cuando arregles la cama y limpies los muebles.

TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN


LA DISYUNCIÓN
Símbolo gramatical: o
Símbolo lógico: v


La disyunción inclusiva es verdadera cuando al menos una de las proposiciones sea verdadera y es falsa cuando todas las proposiciones simples sean falsas.
Ejemplo: Juanita, te dejo salir a jugar cuando arregles la cama o sacudas el polvo.

TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
La proposición p v q cuando únicamente una de las proposiciones es verdadera y la otra falsa.
El número 3 o es divisor de 6 o divisor de 10.

TABLA DE VERDAD



v n
V
La proposición m es verdadera y la proposición n es falsa luego m v n es verdadera.
Ejemplo: 18 es múltiplo de 6 ô 18 es múltiplo de 5. 
p (V) ; q (F) por lo tanto p v q es verdadera.


EL CONDICIONAL Y LA IMPLICACIÓN


Es una proposición compuesta por proposiciones simples unidas mediante el conectivo lógico:
“Si… entonces…”  que se simboliza =>. p=>q
p se denomina antecedente y q se llama consecuente.


VALOR DE VERDAD DE LA IMPLICACIÓN


La proposición p => q es falsa únicamente si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En los demás casos es verdadera.

TABLA DE VERDAD

OBSERVACIÓN: Todo condicional no es una implicación.
Ejemplo: Si el mar es dulce entonces 3 es un número impar.
  1. Si estudias entonces irás al paseo.
  2. Si x+3=5, entonces x=2.
  3. Si ABC es un triángulo, entonces el ángulo A mas el ángulo B mas el ángulo C es igual a 180 grados.
  4. Si ha llovido entonces las calles están mojadas.
Cada uno de estos enunciados reciben el nombre de condicional.


BICONDICIONAL Y DOBLE IMPLICACIÓN


Forma gramatical: si y sólo si
Símbolo lógico: <=>


Ejemplo: x es un número par si y sólo si x es múltiplo de 2.
p: x es un número par.
q: x es múltiplo de 2.


p=>q ^q=>p.


VALOR DE VERDAD DE LA EQUIVALENCIA.


La proposición p <=> q es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambar proposiciones son falsas.

TABLA DE VERDAD


Ejemplo: r <=> s : A es un polígono de 4 lados si y sólo si A es un cuadrilátero.
r es verdadera, s es verdadera.
Nota cuando el condicional es verdadero se acostumbra a decir que las proposiciones que intervienen son equivalentes,

Ejemplos generales:

1. Sabemos que p es falsa, q es verdadera y r es falsa. ¿Cuál será el valor de verdad de la proposición:
q =>(p ^ r) ? = F
.          .
.          .
.          .
V   =>  F = F

Luego q =>(p ^ r) = F

2. Si el valor de verdad de la preposición p => ¬q es falso. ¿Cuál será el valor de verdad de ¬q ^ p?
q => ¬q
.
.
.
V   => F
Si q es verdadera, entonces ¬q es falsa
Si ¬p es falsa, entonces p es verdadera

¬q  ^  p

F ^ V
F

Luego las proposiciones:

q=> ¬p <=> ¬q ^ p
F        V        F

Ejercicios

Completar con F o V cada una de las siguientes proposiciones. Justificar la respuesta.

a) Se sabe que p ^q es verdadera, por lo tanto el valor de verdad de ¬p => q es ____________
b) Se sabe que ¬p => q es falsa. Por lo tanto el valor de verdad de p v ¬ q es ___________
c) Se sabe que ¬p v q es falsa. Por lo tanto, el valor de verdad de p <=> q es ___________
d) Se sabe que p es falsa y ¬p <=> q es verdadera. Por lo tanto, p => ¬q es ___________

VALOR DE VERDAD DEL BICONDICIONAL

Nos basaremos en el valor de verdad del condicional para poder determinar el valor de verdad del bicondicional.
Si (p <=> q) ^(q <=> p) es equivalente a p <=> q.
La proposición (p => q) ^(q => p) es lógicamente equivalente a (p <=> q) ^(q <=> p)



El bicondicional es verdadero cuando las proposiciones que interviene tienen el mismo valor de verdad.

2. Sabiendo que p es falso, q es verdadero y r falso. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas.

a) ¬ (p => ¬q ) <=> (p ^q)
¬ (F => F)  <=> (F ^ V)
¬ (V)      <=>  F

F  <=>  F

V
b) p => (q ^ r)
c) ¬p => (¬p ^ q)
d) (¬p ^ ¬q) => (p v r)
e) (¬q ^ r) v (q v ¬r)
f) (r ^ ¬r ) v r

3. Escribir la proposición dada en la forma si p entonces q determina su valor de verdad.
a) Los pájaros son aves.
b) Sólo las rectas no paralelas se cortan.
c) Sólo las rectas perpendiculares forman ángulos rectos.

SIGNOS DE PUNTUACIÓN O AGRUPACIÓN
  1. Los paréntesis ( ).
  2. Los corchetes [ ].
  3. Las llaves { } son signos de puntuación o agrupación cuya función en el lenguaje corriente es separar unas proposiciones de otras.
Ejemplo: En la proposición compuesta:
a) p ^ ( q v r) ; ^ es el conector principal.
b) p => (p v r) ; => es el conector principal.
c) p => (p ^ r) ; => es el conector principal
Ejemplo: Escribir simbólicamente las proposiciones siguientes.

a) 2 es número par y 21 es múltiplo de 3 o 5 es la raíz cuadrada de 10.
Solución:
  • p: 2 es número par.
  • q: 21 es múltiplo de 3.
  • r: 5 es la raíz cuadrada de 10.
(p ^ q) v r

b) Si 5 multiplicado por 12 es 60, y 3 es el cuadrado de 9, entonces, estudio o juego ajedrez.
Solución:
  • p: 5 es multiplicado por 12 es 60.
  • q: 3 es el cuadrado de 9.
  • r: estudio.
  • s: juego ajedrez.
(p ^ q) => (r v s)

VALORES DE VERDAD DE PROPOSICIONES COMPUESTAS

Ejemplo: Supongamos que se quiere determinar que la proposición (¬p ^ q) es equivalente a (p => ¬r) suponiendo que:
  • p: es falsa.
  • q: es verdadera
  • r: es verdadera
p, q, r, (¬p ^ q) <=> (p => ¬r).

TABLAS DE VERDAD


Son utilizadas para establecer el valor de verdad de proposiciones compuestas.
Ejemplo: Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:
a) ¬(p ^ q) v ¬(q <=> p)
b) [(p => q) ^ p] => q


A v B


TAUTOLOGÍAS

Es una proposición compuesta siempre verdadera, sin importar el valor de verdad que tengan las proposiciones simples que la componen.
Ejemplos:
Comprobar por medio de una tabla de verdad que las siguientes proposiciones compuestas son tautologías.
  1. p v ¬p.
  2. [p ^ (p => q)] => q.
  3. (p v q) <=> (q v p).
  4. (p => q) <=> (¬q => ¬p).
  5. [(p => q) ^ (q => r)] = (p => r).
CONTRADICCIONES

Es una proposición compuesta siempre falsa sin importar el valor de verdad que tengan las proposiciones que la componen.
Ejemplo: Comprobar que la proposición (p ^ ¬p) es una contradicción.

¬(p v q) ^ ¬(q => p)


Nota: Cuando en la tabla de verdad de una proposición aparecen valores (V) y (F) se dice que la proposición es incierta o indeterminada.

Ejercicio:
Elaborar la tabla de verdad de las siguientes proposiciones  y decir en casa caso si se trata de una tautología, una contradicción o una indeterminación.

a) ¬(p => ¬q) <=> (p ^ q).
b) (p ^ ¬q) <=> (¬p v q).
c) p => (q ^ r).
d) ¬p => (¬p ^ q).
e) (¬p ^ ¬q) => (p v q).
f) (p => q) => ¬p.
g) (¬q ^ r) v (q v ¬r).
h) (r ^ ¬r) v r.

LEYES DE ÁLGEBRA PROPOSICIONAL

Las siguientes proposiciones constituyen unos axiomas conocidos como leyes tautológicas.

AXIOMA 1 Leyes de Idempotencia

Si p es una proposición simple o compuesta, entonces:
a) (p v p) <=> p
b) (p ^ p) <=> p

Quiere decir que p v p y p ^ p se sustituye por p.

AXIOMA 2 Leyes de identidad para “o” y para “y” (^ , v).

a) p v (V) <=> V
b) p ^ (F) <=> F
c) p ^ (V) <=> P ————> El valor de verdad de la conjunción y disyunción v , ^ depende
del valor de p.

AXIOMA 3 Leyes de conmutativas

Si p y q son proposiciones, entonces:
a) (p v  q) <=> (q v p)
b) (p ^ q) <=> (q ^ p)
Se pueden escribir en cualquier orden.

AXIOMA 4 Ley asociativa

Si p , q , r son proposiciones cualesquiera, entonces:
a) (p ^ q ) ^ r <=> p ^ (q ^ r)
b) p v (q v r) <=> (p v q) v r.

AXIOMA 5 Ley distributiva

Si p , q, r son proposiciones cualesquiera, entonces:
a) [p ^ (q v r)] <=> [(p ^ q) v (p ^ r)]
b) [p v (q ^ r)] <=> [(p v q) ^ (p v r)]

AXIOMA 6 Ley de doble negación.

Si p es una proposición cualquiera, entonces:
¬(¬p) <=> v
Al negar dos veces una proposición, obtenemos una afirmación.

AXIOMA 7 Ley del tercero excluido.

(p v ¬p) <=> V
P “o” no p siempre es verdadera. independientemente del valor de p.

AXIOMA 8 Ley de contradicción

Si p es una proposición cualquiera, entonces:
(p ^ ¬p) <=> F




AXIOMA 9 Leyes de Morgan

Si p y q son proposiciones simples , o compuestas, entonces:
a) ¬(p ^ q) <=> (¬p v ¬q)
b) ¬(p v q) <=> (¬p ^ ¬q)

Negar una conjunción o una disyunción consiste en cambiar “v”o “^” y negar las proposiciones dadas.

AXIOMA 10 Definición alterna del condicional

Usando tablas de verdad podemos verificar que
p =>q <=> ¬p v q

Ejemplo de las leyes de Morgan:

Para negar la proposición 7 es un número primo y 30 es divisible por 5, cambiamos “y” por “o” y negamos proposiciones simples que forman el enunciado.
7 no es un número primo o 30 no es divisible por 5.

Ejemplo: Escribir sin condicional las proposiciones siguientes:
a) (p ^ q) => r
b) p => (¬p v ¬p)
c) ¬p => ¬q

Solución:

a) (p ^ q) => r   ;  p => q <=> ¬p v q
(p ^ q) = A
A => r
¬A v r
¬(p ^ q) v r

b) p => (¬q v ¬r)
p = A
(¬q v ¬r) = B
¬A v B
¬p v(¬q v ¬r)

c)  ¬p => ¬q <=> ¬(¬p) v ¬q
¬p => ¬q <=> p v ¬q

Ejemplo:
Escribir una proposición a: si x es par entonces x es divisible por 2.
p: x es par
q: x es divisible por 2
p => q <=> ¬p v q
x no es par o x no es divisible por 2.

Ejemplo:
Probar que p => q <=> ¬p v q

Aplicaciones de las leyes proposicionales.

Ejemplo: Probar que ¬(p => q) <=> [p ^ (¬q)]
¬(p => q) <=> ¬(¬p v q) ———- AX 10
¬(p => q) <=> ¬(¬p) ^ ¬q ———Ley de M
¬(p => q) <=> p ^ q

Ejemplo:
(p ^ q) => p es tautología
(p ^ q) => p <=> ¬(p ^ q) v p  ———A 10
(p ^ q) => p <=> (¬p v ¬q) v p  ——– L de M
(p ^ q) => p <=> (¬p v p) v ¬q  ——–Ley conmutativa
(p ^ q) => p <=> [V] v ¬q ————-Ley del tercero excluido.
V Ley